Question

17．已知a＞0，b＞0．
（1）求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥$\frac{8}{2a+b}$；
（2）若c＞0，求证：在a-b-c，b-a-c，c-a-b中至少有两个负数．

Answer 1

分析 （1）利用分析法证明；
（2）假设a≤b≤c，利用不等式的性质判断三个数的正负即可．

解答 证明：（1）要证：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$≥$\frac{8}{2a+b}$，
只需证：$\frac{2a+b}{ab}$≥$\frac{8}{2a+b}$，
只需证：（2a+b）²≥8ab，
即证：4a²+b²-4ab≥0，
即证：（2a-b）²≥0，
显然上式恒成立，
故$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$≥$\frac{8}{2a+b}$．
（2）假设0＜a≤b≤c，
显然a-b-c≤b-b-c=-c＜0，
b-a-c≤c-a-c=-a＜0，
∴在a-b-c，b-a-c，c-a-b中至少有两个负数．

点评 本题考查了不等式的证明，属于基础题．