Question

12．已知点P（x，y）是圆x²+y²=2y上的动点，
（1）求2x+y的取值范围；
（2）若x+y+a≥0有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由圆的普通方程写出圆的参数方程，分析可得$2x+y=2cosθ+sinθ+1=\sqrt{5}sin（θ+φ）+1$，由三角函数的性质分析可得答案；
（2）根据题意，分析可得若x+y+a≥0有解，则有$\begin{array}{l}a≥-（cosθ+sinθ）-1=-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-1\end{array}$有解，由三角函数的性质分析可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，圆的方程为x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1，
设圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$，
则$2x+y=2cosθ+sinθ+1=\sqrt{5}sin（θ+φ）+1$，
∴$-\sqrt{5}+1≤2x+y≤\sqrt{5}+1$，
即2x+y的取值范围为[-$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$+1]；
（2）若x+y+a≥0有解，
则有x+y+a=cosθ+sinθ+1+a≥0，
即$\begin{array}{l}a≥-（cosθ+sinθ）-1=-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-1\end{array}$有解，
∴a≥-$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的参数方程的应用，关键是理解参数方程的意义．