Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上为增函数，则称f（x） 为“一阶比增函数”．
（1）若f（x）=ax²+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）是“一阶比增函数”，当x₂＞x₁＞0时，试比较f（x₁）+f（x₂）与f（x₁+x₂）的大小．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据“一阶比增函数”的定义，建立条件关系即可求实数a的取值范围；
（2）利用函数的单调性，以及“一阶比增函数”的定义即可确定函数值的大小．

解答： 解：（I）由题y=

f(x)

x

=

ax2+ax

x

=ax+a在（0，+∞）是增函数，
由一次函数性质知
当a＞0时，y=ax+a在（0，+∞）上是增函数，
所以a＞0．
（Ⅱ）f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂），
证明如下：因为f（x）是“一阶比增函数”，即

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，
又任意x₁，x₂∈（0，+∞）有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
所以

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
所以f（x₁）＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f（x₂）＜

x2f(x1+x2)

x1+x2

，
所以f(x1)+f(x2)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

+

x2f(x1+x2)

x1+x2

=f(x1+x2)，
所以f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，根据“一阶比增函数”的定义是解决本题的关键，考查学生的推理能力．