Question

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x²+y²=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于

2

．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；
（2）若直线y=x-2与曲线相交于AB两点，求弦AB的长．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）由题意得到满足条件的动点M的集合P={M||MN|=

2

|MQ|}，设出M的坐标，由两点间的距离公式求得|MQ|，利用切线长、圆的半径及圆外的点与圆心距离间的关系求得切线长，代入集合P整理求得动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；
（2）直接由弦心距、圆的半径及半弦长见间的关系列式求得弦AB的长．

解答： 解：（1）设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=

2

|MQ|}
∵圆的半径|ON|=1，
∴|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1，
设点M的坐标为（x，y），
则

x2+y2-1

=

2

(x-2)2+y2

整理得（x-4）²+y²=7．
∴动点M的轨迹方程是（x-4）²+y²=7．
它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为

7

；
（2）由y=x-2，得x-y-2=0，
圆心到直线x-y-2=0的距离d=

2

2

=

2

．
∴|AB|=2

R2-d2

=2

7-2

=2

5

．
∴弦AB的长为2

5

．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线与圆位置关系的应用，训练了点到直线的距离公式，是中档题．