Question

已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．

Answer 1

2

[解析]　解法1：∵a，b，m，n∈R^＋，且a＋b＝1，mn＝2，

∴(am＋bn)(an＋bm)＝abm²＋a²mn＋b²mn＋abn²

＝ab(m²＋n²)＋2(a²＋b²)≥2abmn＋2(a²＋b²)

＝4ab＋2(a²＋b²)＝2(a＋b)²＝2，

当且仅当m＝n＝时，取等号，

∴所求最小值为2.

解法2：由柯西不等式(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n)²，等号成立时，b_i＝0(i＝1,2，…，n)或存在实数k，使得a_i＝kb_i(i＝1,2，…，n)，及a，b，m，n∈R^＋，a＋b＝1，mn＝2，得

(am＋bn)(an＋bm)≥(＋)²

＝(a＋b)²·mn＝2，等号在时成立，

∴k＝1，m＝n＝时，(am＋bn)(an＋bm)取到最小值2.