Question

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

Answer 1

　(1)连接DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.

又∵DB⊥BE，∴DE为直径，∠DCE＝90°，

由勾股定理可得DB＝DC.

(2)由(Ⅰ)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，所以BG＝.

设DE中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°.

∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆半径等于.