Question

20．曲线$y=lnx-\frac{2}{x}$在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 通过函数的导数求出切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，结合同角基本关系式，解方程，即可得到所求和．

解答 解：f（x）=lnx-$\frac{2}{x}$，
∴函数f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∵y=f（x）在x=1处的切线的倾斜角为α，
∴tanα=3，0＜α＜$\frac{π}{2}$，即sinα=3cosα，
又sin²α+cos²α=1，
解得sinα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴cosα+sinα的值为$\frac{4}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查同角的三角函数的基本关系式，学生的计算能力，属于基础题．