Question

12．已知f（x）=|2x-1|+|5x-1|
（1）求f（x）＞x+1的解集；
（2）若m=2-n，对?m，n∈（0，+∞），恒有$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}≥f（x）$成立，求实数x的范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取交集即可；（2）根据基本不等式的性质求出x的范围即可．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2-7x（x＜\frac{1}{5}）\\ 3x（\frac{1}{5}≤x≤\frac{1}{2}）\\ 7x-2（x＞\frac{1}{2}）\end{array}\right.$，
故x＞$\frac{1}{2}$时，7x-2＞x+1，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{5}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，3x＞x+1，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
x＜$\frac{1}{5}$时，2-7x＞x+1，解得：x＜$\frac{1}{8}$，
故f（x）＞x+1的解集为$（-∞，\frac{1}{8}）∪（\frac{1}{2}，+∞）$…（5分）
（2）因为$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）（m+n）•\frac{1}{2}≥\frac{9}{2}$，
当且仅当$m=\frac{2}{3}，n=\frac{4}{3}$时等于号成立．
由$\frac{9}{2}≥f（x）$解得x的取值范围为$（-\frac{5}{14}，\frac{13}{14}）$…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．