Question

2．已知函数f（x）=ax²-（a+4）x+4．
（1）若对任意的x∈（0，1]，都有f（x）＞（a-1）x²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）对任意的x∈（0，1]，都有f（x）＞（a-1）x²恒成立可转化为a+4＜（x+$\frac{4}{x}$）_min，令g（x）=x+$\frac{4}{x}$，利用对勾函数的单调性，可求得g（x）_min=g（1）=5，从而可求实数a的取值范围；
（2）对f（x）=ax²-（a+4）x+4=（x-1）（ax-4）＞0，可分a＜0、a=0、0＜a＜4、a=4、a＞4五种情况讨论，即可解得不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-（a+4）x+4，
∴任意的x∈（0，1]，f（x）＞（a-1）x²恒成立?ax²-（a+4）x+4＞（a-1）x²（0＜x≤1）恒成立，
即（a+4）x＜4+x²恒成立，
∵x∈（0，1]，
∴a+4＜（x+$\frac{4}{x}$）_min，令g（x）=x+$\frac{4}{x}$，由对勾函数的单调性知，g（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间（0，1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=5，
∴a+4＜5，解得：a＜1．
即实数a的取值范围为（-∞，1）；
（2）∵f（x）=ax²-（a+4）x+4=（x-1）（ax-4）＞0，
∴当a=0时，解得：x＜1；
当a＜0时，解得$\frac{4}{a}$＜x＜1；
当0＜a＜4时，解得：x＞$\frac{4}{a}$或x＜1；
当a=4时，解得：x≠1；
当a＞4时，解得：解得：x＜$\frac{4}{a}$或x＞1；
综上所述，当a=0时，不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜1}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|$\frac{4}{a}$＜x＜1}；
当0＜a＜4时，不等式的解集为{x|x＞$\frac{4}{a}$或x＜1}；
当a=4时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞4时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{4}{a}$或x＞1}．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，突出考查等价转化思想、分类讨论思想、函数方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．