Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）求$sinB+cos（{A+\frac{π}{6}}）$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理以及两角差的正弦函数公式化简已知可得sin（A-B）=0，结合A，B的范围，可求A=B，可得△ABC是等腰三角形．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数恒等变换的应用可得：$sinB+cos（{A+\frac{π}{6}}）$=$sin（{A+\frac{π}{3}}）$，由$0＜A＜\frac{π}{2}$，可求范围$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由acosB=bcosA，
根据正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，即sin（A-B）=0，
在△ABC中，有-π＜A-B＜π，
所以A-B=0，即A=B，
所以△ABC是等腰三角形．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），A=B，则$sinB+cos（{A+\frac{π}{6}}）$=$sinA+（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA-\frac{1}{2}sinA}）$=$\frac{1}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA$=$sin（{A+\frac{π}{3}}）$．
因为A=B，所以$0＜A＜\frac{π}{2}$，则$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，
所以$-\frac{1}{2}＜sin（{A+\frac{π}{3}}）≤1$，
于是$sinB+cos（{A+\frac{π}{6}}）$的取值范围是$（\frac{1}{2}，1]$．…（12分）

点评 本题主要考查和差角公式、二倍角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化数学思想，属于中档题．