Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝4a_n－3(n∈N^*)．
(1)证明：数列{a_n}是等比数列；
(2)若数列{b_n}满足b_n＋1＝a_n＋b_n(n∈N^*)，且b₁＝2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

(1)见解析  (2) b_n＝3×^n－1－1(n∈N^*)．

解：(1)证明：由S_n＝4a_n－3可知，
当n＝1时，a₁＝4a₁－3，解得a₁＝1.
因为S_n＝4a_n－3，则S_n－1＝4a_n－1－3(n≥2)，
所以当n≥2时，
a_n＝S_n－S_n－1＝4a_n－4a_n－1，
整理得a_n＝a_n－1，又a₁＝1≠0，
所以{a_n}是首项为1，公比为的等比数列．
(2)由(1)知a_n＝^n－1，
由b_n＋1＝a_n＋b_n(n∈N^*)，
得b_n＋1－b_n＝^n－1.
可得b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋ (b₃－b₂)＋…＋(b_n－b_n－1)
＝2＋＝3×^n－1－1(n≥2，n∈N^*)．
当n＝1时上式也满足条件．
所以数列{b_n}的通项公式为
b_n＝3×^n－1－1(n∈N^*)．