Question

5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）若BD=1，求三棱锥D-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据AD⊥BD，AD⊥CD即可得出AD⊥平面BCD，从而平面ADB⊥平面BCD；
（2）代入体积公式${V_{D-ABC}}={V_{A-BDC}}=\frac{1}{3}•$S_△DBC•AD计算．

解答 （1）证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴折起后AD⊥DC，AD⊥BD．
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC．
又AD?平面ADB，
∴平面ADB⊥平面BDC．
（2）∵DB=1，∴DB=DA=DC=1，
又∵∠BDC=90°
∴S_△DBC=$\frac{1}{2}BD•DC=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
∵AD⊥平面BDC
∴${V_{D-ABC}}={V_{A-BDC}}=\frac{1}{3}•$S_△DBC$•AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．
∴三棱锥DABC的体积为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．