Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）若椭圆的焦距为2

3

，且两条准线间的距离为

8 3

3

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）在（I）的条件下，椭圆上有一点M，满足MF₁⊥MF₂，求△MF₁F₂的面积；
（Ⅲ）过焦点F₂作椭圆长轴的垂线与椭圆交于第一象限点P，连接PO并延长交椭圆于点Q，连接QF₂并延长交椭圆于点H，若PH⊥PQ，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的焦距可求c，再由两条准线间的距离为

8 3

3

可求a，利用条件b²=a²-c²求出b²，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）因为点M在椭圆上，利用椭圆定义得到MF₁+MF₂=4，由MF₁⊥MF₂得到MF12+MF22=12两式联立得到MF₁•MF₂=2，则△MF₁F₂的面积可求；
（Ⅲ）首先求出P点坐标，利用对称性求出Q点坐标，写出直线QF₂的方程后和椭圆联立求出H的坐标，然后利用PH和PQ所在直线的斜率之积等于-1得到a，b的关系式，则离心率可求．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知2c=2

3

，∴c=

3

，
由

2a2

c

=

8 3

3

，得a²=

4 3

3

c=

4 3

3

×

3

=4，
∴b²=a²-c²=4-3=1．
即椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由椭圆定义得MF₁+MF₂=4 ①
因为MF₁⊥MF₂，所以MF12+MF22=12 ②
将①²-②：得MF₁•MF₂=2
故△MF₁F₂的面积S=

1

2

|MF1|•|MF2|=

1

2

×2=1；      
（Ⅲ）把x=c代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y=

b2(1- c2 a2 )

=

b2

a

，
所以点P的坐标为(c，

b2

a

)，则Q(-c，-

b2

a

)，F₂（c，0），
直线QF₂方程为

y-0

- b2 a -0

=

x-c

-c-c

，即y=

b2

2ac

(x-c)，
与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1联立得H点坐标为(

4a2c-b2c

4c2+b2

，

b4

a(4c2+b2)

)，
由PH⊥PQ得，k_PQ•k_PH=-1，即

b2

ac

•

b4 a(4c2+b2) - b2 a

4a2c-b2c 4c2+b2 -c

=-1，
化简得a²=2b²，
即 a²=2（a²-c²），即 e2=

1

2

，又0＜e＜1，所以e=

2

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，该题思路清晰，运算复杂，考查了学生的运算能力．属难题．