Question

(本小题满分12分)
如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）由侧面为菱形得，结合得平面，故，且为的中点．故垂直平分线段，则；（Ⅱ）求二面角大小，可考虑借助空间直角坐标系．故结合已知条件寻找三条两两垂直相交的直线是解题关键．当且时，三角形为等腰直角三角形，故，结合已知条件可判断，故，从而两两垂直．故以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标．分别求半平面和的法向量，将求二面角问题转化为求法向量夹角处理．
试题解析：（I）连接，交于，连接．因为侧面为菱形，所以，且为与的中点．又，所以平面，故．又,故．
（II）因为，且为的中点，所以，又因为，．故，从而两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以为等边三角形．又,则，，，．
,,．
设是平面的法向量，则即所以可取．
设是平面的法向量，则同理可取．
则