Question

13．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求直线AM与平面BCD所成角的大小；
（Ⅱ）求三棱锥A-BMD的体积；
（Ⅲ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．（理科生必做，文科生选做）

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点O，连OB，OM，证明MO⊥平面BCD，推出MO∥AB，延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，推出求解三角形求解直线AM与平面BCD所成角的大小为45°；
（Ⅱ）利用等体积法V_A-BDM=V_M-ABD求解即可．
（III）CE是平面ACM与平面BCD的交线．由（I）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为，通过求解三角形求解二面角的正弦值．

解答 （14分）解：（Ⅰ）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，
所以MO∥AB，
A、B、O、M共面，
延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，
OB=MO=$\sqrt{3}$，MO∥AB，则$\frac{EO}{EB}=\frac{MO}{AB}$=$\frac{1}{2}$，EO=OB=$\sqrt{3}$，
所以EB=2$\sqrt{3}$=AB，即∠AEB=45°．
∴直线AM与平面BCD所成角的大小为45°；
（Ⅱ）△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，
V_A-BDM=V_M-ABD=V_O-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB•BD•\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}BD$=1；
（ III）CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由（I）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，
∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为θ，
因为∠BCE=120°，
所以∠BCF=60°，
BF=BCcos60$°=\sqrt{3}$，tanθ=$\frac{AB}{BF}$=2，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
所以，所求二面角的正弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面市场价，二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，考查计算能力．