Question

11．已知p，q，x∈R，pq≥0，x≠0，求证：|px+$\frac{q}{x}$|≥2$\sqrt{pq}$．

Answer 1

分析 分类讨论，分别利用基本不等式证明不等式成立即可．

解答 证明：①当pq=0时，显然|px+$\frac{q}{x}$|≥2$\sqrt{pq}$=0成立，
②当pq＞0时，px与$\frac{q}{x}$同号，
故|px+$\frac{q}{x}$|
=|px|+|$\frac{q}{x}$|≥2$\sqrt{pq}$，
（当且仅当|px|=|$\frac{q}{x}$|，即x=±$\sqrt{\frac{q}{p}}$时，等号成立），
综上所述，|px+$\frac{q}{x}$|≥2$\sqrt{pq}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及基本不等式的解法与应用．