Question

20．$\frac{2cos20°+2sin20°-1}{2cos20°-2sin20°-1}$•tan25°的值为（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 把式子的分子分母利用和差化积公式变形，再化切为弦，拆角后利用两角和与差的正弦和余弦变形，最后因式分解约分得答案．

解答 解：$\frac{2cos20°+2sin20°-1}{2cos20°-2sin20°-1}$•tan25°
=$\frac{2cos20°+2sin20°-1}{2cos20°-2sin20°-1}$•$\frac{sin25°}{cos25°}$
=$\frac{2（sin70°+sin20°）-1}{2（sin70°-sin20°）-1}$•$\frac{sin25°}{cos25°}$
=$\frac{4sin45°cos25°-1}{4sin25°cos45°-1}$•$\frac{sin25°}{cos25°}$
=$\frac{2\sqrt{2}cos25°-1}{2\sqrt{2}sin25°-1}$•$\frac{sin25°}{cos25°}$
=$\frac{\sqrt{2}sin50°-sin25°}{\sqrt{2}sin50°-cos25°}$
=$\frac{\sqrt{2}sin（45°+5°）-sin（30°-5°）}{\sqrt{2}sin（45°+5°）-cos（30°-5°）}$
=$\frac{\sqrt{2}sin45°cos5°+\sqrt{2}cos45°sin5°-sin30°cos5°+cos30°sin5°}{\sqrt{2}sin45°cos5°+\sqrt{2}cos45°sin5°-cos30°cos5°-sin30°sin5°}$
=$\frac{cos5°+sin5°-\frac{1}{2}cos5°+\frac{\sqrt{3}}{2}sin5°}{cos5°+sin5°-\frac{\sqrt{3}}{2}cos5°-\frac{1}{2}sin5°}$
=$\frac{\frac{1}{2}cos5°+\frac{2+\sqrt{3}}{2}sin5°}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}cos5°+\frac{1}{2}sin5°}$
=$\frac{（2+\sqrt{3}）[\frac{cos5°}{2（2+\sqrt{3}）}+\frac{1}{2}sin5°]}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}cos5°+\frac{1}{2}sin5°}$
=$\frac{（2+\sqrt{3}）（\frac{2-\sqrt{3}}{2}cos5°+\frac{1}{2}sin5°）}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}cos5°+\frac{1}{2}sin5°}$
=$2+\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及和差化积公式的应用，考查灵活变形能力，难度较大．