Question

12．已知cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，且0＜α＜β＜γ＜2π，求
（1）β-α的值；
（2）cos²α+cos²β+cos²γ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知等式表示出cosγ与sinγ，代入sin²γ+cos²γ=1中，整理后利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得解β-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．①同理可得：γ-β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$②，γ-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$③．解得β-α的值为$\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）可得：β-α=$\frac{2π}{3}$，γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$，从而有：cos²α+cos²β+cos²γ=cos²α+cos²（α+$\frac{2π}{3}$）+cos²（α+$\frac{4π}{3}$），利用特殊角的三角函数值及两角和的余弦函数公式即可化简求值．

解答 解：（1）∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，
∴cosγ=-cosα-cosβ，sinγ=-sinα-sinβ，
∵sin²γ+cos²γ=1，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，
整理得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（β-α）=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜α＜β＜2π，
∴0＜β-α＜2π
∴β-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．①
∴同理可得：cos（γ-β）=-$\frac{1}{2}$，解得：γ-β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$②．
cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$；解得：γ-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$③．
∵0＜α＜β＜γ＜2π，
∴β-α=$\frac{2π}{3}$，γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$．
故β-α的值为$\frac{2π}{3}$．
（2）∵由（1）可得：β-α=$\frac{2π}{3}$，γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$．
∴cos²α+cos²β+cos²γ=cos²α+cos²（α+$\frac{2π}{3}$）+cos²（α+$\frac{4π}{3}$）
=cos²α+（-$\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$）²+（-$\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$）²
=$\frac{3}{2}$cos²α+$\frac{3}{2}$sin²α
=$\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，考查了三角函数的恒等变形，两角和与差的三角函数，公式的正确应用的解题关键，属于中档题．