Question

10．已知点F（-c，0）（c＞0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$1（a＞0，b＞0）的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x²+y²=c²交于点P，且点P在抛物线y²=4cx上，则e²等于$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出．

解答 解：如图，设抛物线y²=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，
设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．
由题意可知FF′为圆x²+y²=c²的直径
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=$\frac{b}{a}$，|FF′|=2c，
满足$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{b}{a}③}\end{array}\right.$，
将①代入②得x²+4cx-c²=0，
则x=-2c±$\sqrt{5}$c，
即x=（$\sqrt{5}$-2）c，（负值舍去）
代入③，即y=$\frac{（\sqrt{5}-1）bc}{a}$，再将y代入①得，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4（\sqrt{5}-2）}{（\sqrt{5}-1）^{2}}$=e²-1
即e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查双曲线的性质，掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．