Question

9．已知函数f（x）=a•lnx+b•x²的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若F（x）满足F（x）＜G（x）恒成立，则称F（x）是G（x）的一个“游离承托函数”．
证明：函数g（x）=2af（x+t），t∈R且t≤2，是函数h（x）=e^x+f（x+t）的一个“游离承托函数”．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）=a•lnx+b•x²的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，求出a，b，即可求f（x）的表达式；
（2）由题要证函数g（x）=2f（x+t），t∈R且t≤2，是函数h（x）=e^x+f（x+t）的一个“游离承托函数”，只要证明当t≤2时，g（x）＜h（x）在公共定义域上恒成立．

解答 （1）解：当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+b•x²得b=0，…（1分）
所以f（x）=a•lnx，f′（x）=$\frac{a}{x}$…（3分）
由切线方程知f′（1）=1，所以a=1，故f（x）=lnx．…（5分）
（2）证明：由题要证函数g（x）=2f（x+t），t∈R且t≤2，是函数h（x）=e^x+f（x+t）的一个“游离承托函数”，
只要证明当t≤2时，g（x）＜h（x）在公共定义域上恒成立，即证明：
当t≤2时，h（x）-g（x）=e^x-ln（x+t）对于x＞-t恒成立，
由于t≤2，x+t≤x+2，ln（x+t）≤ln（x+2），e^x-ln（x+t）≥e^x-ln（x+2），
只要证明：e^x-ln（x+2）＞0对于x＞-2恒成立即可．…（6分）
证明：令y=e^x-ln（x+2），x＞-2，
则y′=e^x-$\frac{1}{x+2}$，
令k（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，则k′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+2）^{2}}$＞0，
∴y′=e^x-$\frac{1}{x+2}$在（-2，+∞）上单调递增，且k（-1）=$\frac{1}{e}$-1＜0，k（0）=1-$\frac{1}{2}$＞0
∴?x₀∈（-1，0），使得k（x₀）=0成立，…（8分）
当x∈（-2，x₀）时，y′＜0，y=e^x-ln（x+2）单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，y′＞0，y=e^x-ln（x+2）单调递增；
∴y_min=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2），…（9分）
又由k（x₀）=0，得${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}+2}$，且x₀=-ln（x₀+2）…（10分）
∴y_min=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2）=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{{x}_{0}+2}$＞0，…（11分）
∴e^x-ln（x+2）＞0对于x＞-2恒成立
∴函数函数g（x）=2f（x+t），t∈R且t≤2，是函数h（x）=e^x+f（x+t）的一个“游离承托函数”，得证．…（12分）

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于难题．