Question

13．如图，四边形ABCD与四边形ABEF都是正方形，且二面角D-AB-F的大小为60°，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知得∠DAF=60°，CD⊥平面DAF，AD∥BC，∠FBC是异面直线AD与BF所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AD与BF所成角的余弦值．

解答 解：∵四边形ABCD与四边形ABEF都是正方形，且二面角D-AB-F的大小为60°，
∴∠DAF=60°，CD⊥平面DAF，AD∥BC，
设AB=a，则DF=a，FC=BF=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，
∵AD∥BC，∴∠FBC是异面直线AD与BF所成角，
由余弦定理得cos∠FBC=$\frac{B{F}^{2}+B{C}^{2}-C{F}^{2}}{2•BF•BC}$=$\frac{2{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2•\sqrt{2}a•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴异面直线AD与BF所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．