[题目]某国有53座城市.任意两座城市之间要么有一条双向公路直达.要么没有直接相连的公路.已知这53座城市之间共有312条公路.并且由任何一座城市出发通过公路均能到达其余各城市.每一座城市至多向其余12座城市引出公路.且每走一条公路需要缴纳10元路费.现甲在城市A.且身上仅有120元.甲是否一定能到达任意一座城市?证明你的结论. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】某国有53座城市，任意两座城市之间要么有一条双向公路直达，要么没有直接相连的公路。已知这53座城市之间共有312条公路，并且由任何一座城市出发通过公路均能到达其余各城市。每一座城市至多向其余12座城市引出公路，且每走一条公路需要缴纳10元路费。现甲在城市A，且身上仅有120元。甲是否一定能到达任意一座城市？证明你的结论。

【答案】见解析

【解析】

一定能到达.

将这53座城市看成53个顶点，若两座城市之间有双向公路直达，则在对应的顶点之间连一条无向边.如此，构造出图G.由题意，知C为简单连通图.记D为图G的直径.原题即问直径D是否小于或等于12.

由直径定义，知存在顶点u、v使得存在一条u-v路，其长度为D.记这条路上的所有顶点构成的集合为P.将图G去掉集合P中的顶点以及和P中顶点相连的边后得到的子图记为G'.

由于这条u-v路的长度为直径D，是所有路中最长的，因此，有结论：这条u-v路上的顶点之间除了相邻顶点外，不能相连.

将集合P中的顶点从u到v顺序编号为1,2,...,D+1，把编号模3余i的顶点构成的集合记为.

则有结论：对于给定的i(i=1,2,3)，任取集合中的两个不同顶点x、y，这两者之间没有边.

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