Question

设F₁、F₂分别是椭圆 

x2

4

+y²=1的左、右焦点，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且

BF1

=λ

CF1

，求λ的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆的方程，求出焦点的坐标，化简

PF1

•

PF2

=

1

4

（3x²-8），结合x∈[-2，2]，求得它的最值．
（Ⅱ）设C（x₀，y₀），由

BF1

=λ

CF1

，用λ 表示 x₀，y₀，把C（x₀，y₀）代入椭圆的方程求得λ值．

解答： 解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=

3

，
所以，F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=（-

3

-x，-y）•（

3

-x，-y）=x²+y²-3=x²+1-

x2

4

-3=

1

4

（3x²-8），
因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值1．
（Ⅱ）设C（x₀，y₀），B（0，-1），F₁（-

3

，0），
由

BF1

=λ

CF1

，得x₀=

3 (1-λ)

λ

，y₀=-

1

λ

，
又

x02

4

+y02=1，
所以有 λ²+6λ-7=0，解得λ=-7，λ=1＞0（舍去）．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，两个向量的数量积公式，解得λ=-7把λ=1＞0舍去，是解题的易错点．