Question

在△AABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin²

B+C

2

=1．
（1）求角A的大小和BC边的长；
（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．

Answer 1

考点：简单线性规划,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值,不等式的解法及应用

分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出A，然后利用余弦定理求得BC的长；
（2）利用三角形的面积相等用x，y表示d，由题意可得当P在C处时d有最小值并求得最小值，当P在AB上时d有最大值，把d用x表示，由x的范围求得最大值．

解答： 解：（1）∵cos2A+2sin²

B+C

2

=1，
∴1-2sin²A+2sin²

B+C

2

=1，
∴sinA=sin

B+C

2

，即A=

B+C

2

，
∴3A=π，A=

π

3

．
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cosA=2²+1²-2×2×1×cos

π

3

=3，
∴BC=

3

；

（2）由（1）知，△ABC为以C为直角的直角三角形，
如图，

设P到AB的距离为m，
由等积法可得：

3

2

=

1

2

(y+

3

x+2m)，得
m=

3 - 3 x-y

2

．
∴d=x+y+

3 - 3 x-y

2

=

(2- 3 )x+y+ 3

2

，
由题意得：d在P与C点重合时最小，为

3

2

；
d在AB上时取最大值，此时有AB=2=

x

sinB

+

y

sinA

，
将sinA=sin

π

3

=

3

2

、sinB=

1

2

代入得：y=

3

-

3

x，
∴d=x+y+0=(1-

3

)x+

3

，
∵x的取值范围为0到1，
∴d最大为

3

．
∴d的取值范围为[

3

2

，

3

]．

点评：本题考查了二倍角的余弦公式的应用，考查了函数最值的求法，体现了数学转化思想方法，属有一定难度题目．