Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥平面PAB；
（2）设二面角A-PB-C的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由线面垂直，得PA⊥CM，由正三角形性质，得CM⊥AB，由此能证明CM⊥平面PAB．
（Ⅱ）以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．

解答： （本题15分）
（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABC，
所以PA⊥CM．┅（3分）
因为△ABC是正三角形，
M是AB的中点，所以CM⊥AB．┅（6分）
所以，CM⊥平面PAB．┅（7分）
（Ⅱ）解：以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图．

AP

=(0，0，3)，

AC

=（2

3

，2，0）．
设

n

=（x，y，z）是平面APC的法向量，
则

n • AP =3z=0 n • AC =2 3 x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-

3

，0）．┅（10分）

BP

=(0，-4，3)，

BC

=(2

3

，-2，0)．
设

m

=(a，b，c)是平面BPC的法向量，
则

m • BP =-4b+3c=0 m • BC =2 3 a-2b=0

，取a=

3

，得

m

=(

3

，3，4)．┅（13分）
故cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

2 3

2×2 7

=

21

14

．┅（15分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．