Question

16．已知函数f（x）=-x⁵-3x³-5x+3，若f（a）+f（a-2）＞6，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，3）
• B． （3，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 由函数的解析式，算出f（-x）+f（x）=6对任意的x均成立．因此原不等式等价于f（a-2）＞f（-a），再利用导数证出f（x）是R上的单调减函数，可得原不等式即a-2＜-a，由此即可解出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=-x⁵-3x³-5x+3，
∴f（-x）=x⁵+3x³+5x+3，可得f（-x）+f（x）=6对任意的x均成立．
因此不等式f（a）+f（a-2）＞6，即f（a-2）＞6-f（a），
等价于f（a-2）＞f（-a）
∵f'（x）=-5x⁴-9x²-5＜0恒成立，
∴f（x）是R上的单调减函数，
所以由f（a-2）＞f（-a）得到a-2＜-a，即a＜1
故选：D

点评 本题给出多项式函数，求解关于a的不等式，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题．