Question

如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40n mile处的B岛出发，朝北偏东θ(θ＝arctan)的方向做匀速直线航行，速度为10n mile/h.

(1)求出发后3h两船相距多少海里？

(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？

(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．

 

Answer 1

　以A为原点，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．

设在t时刻甲、乙两船分别在P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则x₁＝15tcos45°＝15t，y₁＝x₁＝15t，

由θ＝arctan可得，cosθ＝，sinθ＝，

故x₂＝10tsinθ＝10t，

y₂＝10tcosθ－40＝20t－40，

(1)令t＝3，则P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，

|PQ|＝＝＝5.

即两船出发后3h，相距5n mile.

(2)由(1)的求解过程易知：

∴当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20.

即两船出发后4h，相距最近，距离为20n mile.

(3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为20n mile，故两船不可能相遇．