Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）令，求函数的极值；

（Ⅲ）若，正实数， 满足，证明： .

Answer 1

【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）证明详见解析.

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率，所以先求导数得，即，又，再根据点斜式得切线方程（2）先求导数，再分类讨论导函数在定义区间上符号变化规律，确定极值取法：当时， ，函数无极值点．当时，一个零点，导函数在其左右符号变化，先增后减，所以有极大值，无极小值

（3）先化简为，转化为关于函数关系式： ，研究函数，其中，得，因此，解不等式得

试题解析：（1）当时， ，则，所以切点为，

又，则切线斜率，

故切线方程为，即．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2），

则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

当时，∵，∴．

∴在上是递增函数，函数无极值点．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当时， ，令得，

∴当时， ；当时， ，

因此在上是增函数，在上是减函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴时， 有极大值，

综上，当时，函数无极值；

当时，函数有极大值，无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分

（3）证明：当时， ，

由，即，

从而，

令，则由得： ，

可知， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴，∴，

∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分