Question

16．双曲线和椭圆25x²+9y²=225有公共焦点，它们的离心率之和为2，则双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{100}{9}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{44}{9}}=1$．

Answer 1

分析 先根据椭圆的方程求得焦点坐标和离心率，进而可知双曲线的半焦距，设出双曲线的标准方程，根据离心率之和求得a，再利用c求得b．答案可得．

解答 解：整理椭圆方程得$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．
∴c₁=$\sqrt{25-9}$=4，
∴焦点坐标为（0，4）（0，-4），离心率e₁=$\frac{4}{5}$，
∴设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则半焦距c₂=4
∴$\frac{4}{a}+\frac{4}{5}$=2，∴a=$\frac{10}{3}$
∴b=$\frac{2\sqrt{11}}{3}$
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{100}{9}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{44}{9}}=1$．

点评 本题主要考查了双曲线的标准方程．在求曲线方程的问题中，巧设方程，减少待定系数，是非常重要的方法技巧．特别是具有公共焦点的两种曲线，它们的公共点同时具有这两种曲线的性质，解题时要充分注意．