Question

4．设x为△ABC的一个内角．函数f（x）=sinx+cosx．
（1）求x为何值时．f（x）有最大值？并求出该最大值．
（2）若f（x）=$\frac{1}{2}$，求cos2x．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求得f（x）的最大值．
（2）根据f（x）=$\frac{1}{2}$，求得sin（x+$\frac{π}{4}$）的值，可得 cos（x+$\frac{π}{4}$） 的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得cos2x的值．

解答 解：（1）∵x为△ABC的一个内角，∴x∈（0，π），∵函数f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
且x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），故当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）有最大值为$\sqrt{2}$．
（2）若f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，则sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴x+$\frac{π}{4}$＞$\frac{3π}{4}$，
∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（x+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
此时，cos2x=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2sin（x+$\frac{π}{4}$） cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，二倍角公式的应用，属于基础题．