Question

20．如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间$[{0，\frac{3π}{2}}]$上的图象所围成的封闭图形的面积为2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为S=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（cosx-sinx）dx+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{5π}{4}}$（sinx-cosx）dx+${∫}_{\frac{5π}{4}}^{\frac{3π}{2}}$（cosx-sinx）dx，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．

解答 解：由y=sinx（x∈[0，$\frac{3π}{2}$]）和y=cosx（x∈[0，$\frac{3π}{2}$]），可得交点坐标为（ $\frac{π}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），（ $\frac{5π}{4}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴由两曲线y=sinx（x∈[0，$\frac{3π}{2}$]）和y=cosx（x∈[0，$\frac{3π}{2}$]）所围成的封闭图形的面积为
S=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（cosx-sinx）dx+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{5π}{4}}$（sinx-cosx）dx+${∫}_{\frac{5π}{4}}^{\frac{3π}{2}}$（cosx-sinx）dx
=（sinx+cosx） ${|}_{0}^{\frac{π}{4}}$-（sinx+cosx） ${|}_{\frac{π}{4}}^{\frac{5π}{4}}$+（sinx+cosx） ${|}_{\frac{5π}{4}}^{\frac{3π}{2}}$
=2$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$2\sqrt{2}$-1

点评 本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题