Question

已知椭圆的焦距为，其长轴长和短轴长之比为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为椭圆的右焦点，T为直线上纵坐标不为的任意点，过作的垂线交椭圆于点, 若平分线段(其中为坐标原点)，求的值；

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的标准方程是；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意椭圆焦距为，长轴长和短轴长分别为：，且，根据题意列出关于的方程得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据题意. 设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理得到，利用中点坐标公式，得到的中点的坐标，因为得到点的坐标和直线的方程，将点的坐标代入直线的方程中，解得.

试题解析：（Ⅰ）由已知可得解得.

所以椭圆C的标准方程是. （5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，点的坐标是.

设直线PQ的方程为，将直线PQ的方程与椭圆的方程联立，得

消去x，得，其判别式.

设，则.于是.

设为PQ的中点，则点的坐标为. 7分

因为，所以直线的斜率为，其方程为.

当时，，所以点的坐标为，

此时直线的斜率为，其方程为.

将点的坐标代入上式得.

解得. （12分）

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线和椭圆综合应用；3.韦达定理.