Question

6．已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，若双曲线上一点P   满足∠F₁PF₂=90°，求${S_{△{F_1}P{F_2}}}$=16．

Answer 1

分析 先利用双曲线的定义，得|PF₁|-|PF₂|=±2a=±6，将此式两边平方，再结合勾股定理能求出|PF₁|•|PF₂|的值，由此能求出△F₁PF₂的面积．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1，
∴a=3，b=4，c=$\sqrt{16+9}$=5．
由双曲线的定义，得|PF₁|-|PF₂|=±2a=±6，
将此式两边平方，得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=36，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=36+2|PF₁|•|PF₂|．
又∵∠F₁PF₂=90°，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100，
=36+2|PF₁|•|PF₂|，
∴|PF₁|•|PF₂|=32，
∴${S_{△{F_1}P{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×32=16；
故答案为：16．

点评 本题考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线定义、勾股定理的灵活运用，是中档题．