Question

7．已知f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）cosx．
（1）把函数化为f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）求函数y=f（x）的值域；
（3）求函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式即可解得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$；
（2）由sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，根据正弦函数的图象和性质即可求得函数值域；
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数的单调递增区间．

解答 解：（1）f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）cosx=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
（2）∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴函数y=f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的值域是：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：k$π-\frac{π}{3}$≤x≤k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函数的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．