Question

求函数y=x+

1-2x

的定义域和值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：本题先根据无理式有意义，得到x的取值范围，得到函数定义域，再利用换元法将无理式t=

1-2x

将原函数转化为二次函数在区间[0，+∞）上的值域，结合二次函数的图象，求出其做值域，得到本题结论．

解答： 解：∵函数y=x+

1-2x

，
∴1-2x≥0，
∴x≤

1

2

，
∴函数y=x+

1-2x

的定义域为{x|x≤

1

2

}．
令t=

1-2x

（t≥0），则x=

1-t2

2

，
∴y=

1-t2

2

+t，
∴y=-

1

2

t2+t+

1

2

=-（t-1）²+1，
∵t≥0，
∴当t=1即x=0时，函数取得最大值y_max=1，
∴函数y=x+

1-2x

的值域为（-∞，1]．

点评：本题考查了函数的定义域、值域，还考查了换元法和化归转化思想，本题难度不大，属于基础题．