Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，

π

12

]，求f（x）的最值；
（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）由最低点的坐标求得A=2，根据周期求出ω，把点的坐标代入解析式求出∅，即得函数的解析式．
（2）先求出2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]，故当2x+

π

6

=

π

6

时，f（x）取得最小值1；f（x）取得最大值

3

．
（3）由题意得 g(x)=f(

π

6

-x)=2cos2x，解2kπ-π≤2x≤2kπ可得x的范围，即得g（x）的单调增区间．

解答：解：（1）由最低点为M(

2π

3

，-2) 可得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为

π

2

得

T

2

=

π

2

，即T=π，ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
由点M(

2π

3

，-2)在图象上的2sin(2×

2π

3

+φ)=-2，即sin(

4π

3

+φ)=-1，
故

4π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z，∴φ=2kπ-

11π

6

，又φ∈(0，

π

2

)，
∴φ=

π

6

，故f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）因为 x∈[0，

π

12

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]，所以当2x+

π

6

=

π

6

时，即x=0时，f（x）取得最小值1；当2x+

π

6

=

π

3

，即x=

π

12

时，f(x)取得最大值

3

．
（3）由题意得 g(x)=f(

π

6

-x)=2cos2x，解2kπ-π≤2x≤2kπ，
可得  kπ-

π

2

≤x≤kπ，所以g（x）的单调增区间是[kπ-

π

2

，kπ]，k∈Z．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域、单调性、周期性，求y=Asin（ωx+∅）的解析式，求函数g（x）的单调增区间，
是解题的难点．