Question

已知函数f（x）=cos²﹙x+

π

12

﹚，g﹙x﹚=1+

1

2

sin2x．求：
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[-

5π

12

，

π

6

]时，若存在实数m使得方程h﹙x﹚=m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数中的恒等变换应用,二倍角的正弦,余弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求出x₀，即可求g（x₀）的值；
（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性即可得出；
（3）求出函数的值域，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=cos²﹙x+

π

12

﹚=

1

2

+

1

2

cos（2x+

π

6

），
∵x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴令2x+

π

6

=kπ，可得2x₀=kπ-

π

6

，
∴g﹙x₀﹚=1+

1

2

sin2x₀=

5

4

或

3

4

；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

+

1

2

cos（2x+

π

6

）+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ-

π

2

，解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
∴函数h（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）；
（3）x∈[-

5π

12

，

π

6

]，则2x+

π

3

∈[-

π

2

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-1，1]
∴h（x）∈[1，2]，
∵存在实数m使得方程h﹙x﹚=m有解，
∴实数m的取值范围是[1，2]．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性、对称性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．