Question

17．已知函数f（x）=xlnx+e^t-a，若对任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上总有唯一的零点，则a的取值范围是（　　）

• A． $[e-\frac{1}{e}，e）$
• B． [1，e+1）
• C． [e，e+1）
• D． $（e-\frac{1}{e}，e+1）$

Answer 1

分析 求出函数的导数，判断函数的单调性，画出函数y=xlnx与函数y=a-e^t的图象，利用零点的个数，得到a的不等式，通过恒成立求解即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=xlnx+e^t-a，可得f′（x）=lnx+1，
所以由f′（x）=0?lnx+1=0?x=$\frac{1}{e}$，x＞$\frac{1}{e}$，
f′（x）＞0，所以f（x）在（0，e^-1）上单调递减，
在（e^-1，e）上单调递增．函数f（x）=xlnx+e^t-a，
在坐标系中画出y=xlnx与y=a-e^t的图象，如图：
对任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上总有唯一的零点，
可得：0≤a-e^t＜e，
可得e^t≤a＜e^t+e，可得e≤a＜1+e，
即a∈[e，e+1）．
故选：C．

点评 本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．