Question

已知f(x)＝xln x，g(x)＝x³＋ax²－x＋2.

(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，求函数y＝g(x)的图像在点P(－1,1)处的切线方程；

(3)若不等式2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)g′(x)＝3x²＋2ax－1，由题意得3x²＋2ax－1<0的解集是，

即3x²＋2ax－1＝0的两根分别是－，1.

将x＝1或x＝－代入方程3x²＋2ax－1＝0，得a＝－1.∴g(x)＝x³－x²－x＋2.

(2)由(1)知，g′(x)＝3x²－2x－1，

∴g′(－1)＝4，∴点P(－1,1)处的切线斜率k＝g′(－1)＝4，

∴函数y＝g(x)的图像在点P(－1,1)处的切线方程为y－1＝4(x＋1)，即4x－y＋5＝0.

(3)∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，即2xln x≤3x²＋2ax＋1对x∈(0，＋∞)上恒成立．

可得a≥ln x－－在x∈(0，＋∞)上恒成立．

令h(x)＝ln x－－，

则h′(x)＝－＋＝－.

令h′(x)＝0，得x＝1或x＝－(舍)．

当0<x<1时，h′(x)>0；

当x>1时，h′(x)<0.

∴当x＝1时，h(x)取得最大值，

h(x)_max＝h(1)＝－2，

∴a≥－2.∴a的取值范围是[－2，＋∞)．