Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意n∈N^*，总有S_n=2（a_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_k与a_k+1之间插入k个数，使这k+2个数组成等差数列，当公差d满足3＜d＜4时，求k的值并求这个等差数列所有项的和T．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2，利用递推关系：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=2a_n-1，当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由题意可得等差数列：a_k，a_k+d，a_k+2d，…，a_k+kd，a_k+1，利用a_k+1=a_k+（k+1）d，及其3＜d＜4，可得3＜$\frac{{2}^{k}}{k+1}$＜4，解出k，d，再利用求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，化为a_n=2a_n-1，
当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）由题意可得等差数列：a_k，a_k+d，a_k+2d，…，a_k+kd，a_k+1，
∴a_k+1=a_k+（k+1）d，
∴2^k+1=2^k+（k+1）d，∴2^k=（k+1）d，
∴3＜$\frac{{2}^{k}}{k+1}$＜4，
解得k=4，d=$\frac{16}{5}$．
∴此等差数列为：2⁴，2⁴+$\frac{16}{5}$，2⁴+2×$\frac{16}{5}$，2⁴+3×$\frac{16}{5}$，2⁴+4×$\frac{16}{5}$，2⁵，
∴这个等差数列所有项的和T=$\frac{6×（{2}^{4}+{2}^{5}）}{2}$=144．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．