Question

7．如图，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点P（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； 
（Ⅱ）过点（1，-1）的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点P）．问直线PM与PN的斜率之和是否是定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过椭圆的离心率，端点值，以及椭圆的几何量法关系，求解a，b，即可求解椭圆C的方程； 
（Ⅱ）（1°）当直线l垂直于x轴时，解得M，N，求解直线PM与PN的斜率之和．
（2°）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程为y+1=k（x-1），与椭圆C联立，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韦达定理，转化求解直线PM与PN的斜率之和化简求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，b=1$，又a²=b²+c²
所以$a=\sqrt{2}，b=1$
所以椭圆C的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$（4分）
证明（Ⅱ）（1°）当直线l垂直于x轴时，解得$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），N（1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
所以直线PM与PN的斜率之和为$\frac{{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{0-1}+\frac{{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{0-1}=-2$（6分）
（2°）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k
由题直线l的方程为y+1=k（x-1），与椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立
得（2k²+1）x²-4k（k+1）x+2k（k+2）=0（*）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{4k（k+1）}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{2k（k+2）}{{2{k^2}+1}}$（8分）
所以直线PM与PN的斜率之和为$\frac{{{y_1}-1}}{x_1}+\frac{{{y_2}-1}}{x_2}=\frac{{k（{x_1}-1）-2}}{x_1}+\frac{{k（{x_2}-1）-2}}{x_2}$=$2k-（k+2）（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）$=$2k-（k+2）\frac{4k（k+1）}{2k（k+2）}=-2$（11分）
此时方程（*）亦满足△＞0
综上，直线PM与PN的斜率之和为定值-2（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．考查计算能力．