Question

2．已知：数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=log₃$\frac{3}{{a}_{n}}$，求数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）b_n=log₃$\frac{3}{{a}_{n}}$=n，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=n•3^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）当n≥2时，数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，n∈N^*，
a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=n-1，
两式作差得：3^n-1a_n=1，∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．
当n=1时，a₁=1也满足上式．∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$（n∈N^*）．
（2）b_n=log₃$\frac{3}{{a}_{n}}$=n，
$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=n•3^n-1．
数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1，
3S_n=3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
∴-2S_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{n}{2}×{3}^{n}$-$\frac{1}{4}×{3}^{n}$+$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．