Question

【题目】已知抛物线的方程为，过点（为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为，.

（1）过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于，两点，，两点在轴上的射影分别为，，且，求抛物线的方程；

（2）设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）由抛物线方程可知其焦点坐标，则可得直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，根据根与系数关系可得点的横坐标关系式，再由，从而问题可得解；（2）由题意，根据导数几何意义，通过两切点计算两条切线方程，从而得到两切线斜率与抛物线参数的关系式，从而可证明，两斜率的乘值为定值.

试题解析：（1）因为抛物线的焦点坐标是，

所以过焦点且在轴上截距为的直线方程是 ，即.

联立消去并整理，得，

设点，，

则，.

则

，

解得.

所以抛物线的方程为.

（2）设点， .

依题意，由，得，

则.

所以切线的方程是，

即.

又点在直线上，

于是有，

即.

同理，有，

因此，，是方程的两根，

则，.

所以，

故为定值得证.