【题目】已知函数
，其中
，
.
（1）若
，
，且对任意的
，都有
，求实数
的取值范围；
（2）若
，
，且
在
单调递增，求
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）代入
,
可求得
的解析式.代入不等式化简,将不等式化简为关于
的二次函数形式,结合
即可求得
的取值范围.
（2）解法1:根据条件
可求得函数的对称轴,且由
可得
的表达式.再根据在
单调递增,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的最大值.
解法2:根据在单调递增可先求得的取值范围,结合可得函数的对称轴, 且由可得的表达式.根据
可求得
的值,再求得于的值,即可得的解析式.进而求得满足在单调递增时的最大值.
（1）∵,
∴
∴
,即
∵
∴
∴当
时,
∴
（2）解法1：∵
∴
为
图像的对称轴
又
∴
两式相减得
∴
∵
在单调递增,令
∴
在
单调递增
∴
,则
,
①+②得
∴
∵
∴当
时取到最大值为
解法2：在单调递增
∴
∴
∵
∴为图像的对称轴
又
∴
两式相加得
∵
∴
或
①当时,
,得
,
②当时
,得
,
当,时
时,
则满足条件在单调递增,所以的最大值为.
快乐小博士巩固与提高系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某车间生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该车间制造电子元件的过程中，次品率
与日产量
的函数关系是：
．
（1）写出该车间的日盈利额
（元）与日产量（件）之间的函数关系式；
（2）为使日盈利额最大，该车间的日产量应定为多少件？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在四棱锥
中，
平面
，且底面为边长为2的菱形，
,
.
（Ⅰ）记
在平面
内的射影为
（即
平面），试用作图的方法找出M点位置，并写出
的长（要求写出作图过程，并保留作图痕迹，不需证明过程和计算过程）；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线
的方程为
，过点
（
为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为
，
.
（1）过焦点且在
轴上截距为
的直线
与抛物线交于
，
两点，，两点在轴上的射影分别为
，
，且
，求抛物线的方程；
（2）设直线
，
的斜率分别为
，
.求证：
为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】对于定义在
上的函数
，如果对于任意的
，存在常数
都有
成立，则称
为函数在上的一个上界.已知函数
.
（1）当
时，试判断函数在
上是否存在上界，若存在请求出该上界，若不存在请说明理由；
（2）若函数在
上的上界为3，求出实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造. 算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数1～9的方法如图:例如：163可表示为“
”，27可表示为“
”.现有6根算筹，用来表示不能被10整除的两位数，算筹必须用完，则这样的两位数的个数为_________.
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