Question

【题目】对于定义在上的函数，如果对于任意的，存在常数都有成立，则称为函数在上的一个上界.已知函数.

（1）当时，试判断函数在上是否存在上界，若存在请求出该上界，若不存在请说明理由；

（2）若函数在上的上界为3，求出实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数在上不存在上界，详见解析；（2）[-3,3]

【解析】

（1）当时，+，由此可求出函数的单调性和值域，从而得到结论；

（2）由题意知，|在上恒成立，将不等式进行变形可得，，化简整理得，，则，设，则=，=，分别求出在上的最大值和在上的最小值即可得到结果.

（1）当时，+，

因为在上递减，所以，

即在的值域为，故不存在常数>0，使|成立，

所以函数在上不存在上界；

（2）由题意知，|在上恒成立.

，，

所以在上恒成立，

所以，

设，则=，=，由得，

设1，－=，

－=，

所以在上递减，在上的最大值为=－3，

而在上递增，在上的最小值为=3，

所以实数的取值范围为[-3,3].