Question

【题目】已知函数，其中a为实数.

（1）当a=-1时，求函数y=f(x)的零点；

（2）若f(x)在（-2,2）上为增函数，求实数a的取值范围；

（3）对于给定的实数a，若存在两个不相等的实数根，，（<且≠0）使得f()=f(),求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数y=f(x)的零点为或；（2）见解析

【解析】

（1）直接解方程即得函数y=f(x)的零点为或；（2）由题得，利用分段函数的单调性和二次函数的图象分析即得解；（3）对分三种情况讨论，结合函数的图象分析得解.

（1），

所以或，

所以或，

所以或.

所以函数y=f(x)的零点为或.

（2）由题得，二次函数的对称轴为，

当即时，由题得，即.因为，所以；

当即时，函数在（-2,2）上为增函数，所以；

当即时，由题得，所以，所以.

综上，所以实数a的取值范围为.

（3）当时，，

(因为<且≠0，所以不能取等)

当时，函数在R上单调递增，所以不满足题意；

当时，函数在单调递减，在单调递增.

所以，令，

①若，则，由知且

所以

所以函数M在上是增函数，

所以，

所以此时.

②若，则，则，

所以，因为，，所以

，

因为，所以，

所以，

令，所以

所以，

综上，当时，；当时，不存在；当时，.