Question

【题目】在四棱锥中，平面，且底面为边长为2的菱形，,.

（Ⅰ）记在平面内的射影为（即平面），试用作图的方法找出M点位置，并写出的长（要求写出作图过程，并保留作图痕迹，不需证明过程和计算过程）；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，作图见解析，再利用射影定理求PM的长. (2) 以D为坐标原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法求二面角的余弦值.

试题解析：

(1)取BC中点E，连接DE，PE，在PDE内作DMPE，垂足为M，,则PM=,

（2）以D为坐标原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图，A(2，0，0),P(0，0，2),B(1，，0)，C（-1，，0）

分别设平面PAB，平面PBC的法向量为，则

，令

，令

, 又二面角A-PB-C的大小为钝角

二面角A-PB-C的余弦值为.