Question

在极坐标系中，动点P（ρ，θ）运动时，ρ与sin2(

θ

2

+

π

4

)成反比，动点P的轨迹经过点（2，0）
（I）求动点P的轨迹其极坐标方程．
（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点P轨迹是何种曲线．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（I）设ρ=ρ=

k

sin2( θ 2 + π 4 )

，把点（2，0）代入求得k的值，可得动点P的轨迹的坐标方程，化简可得结果．
（II）由于ρ+ρsin θ=2根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程，整理可得结论．

解答： 解：（I）设ρ=

k

sin2( θ 2 + π 4 )

把点（2，0）代入可得2=

k

sin2 π 4

，
∴k=1…（5分）
∴ρ=

2

1+sinθ

；
（II）∵ρ=

2

1+sinθ

，
∴ρ（1+sinθ）=2，
∵ρ²=x²+y²，ρsinθ=y…（7分）
∴y=-

1

4

x2+1
∴P点轨迹是开口向下，顶点为（0，1）的抛物线      …（10分）

点评：本题主要考查求简单曲线的极坐标方程，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．