【题目】如图,四棱锥中,
底面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
,点
在
上,且
.
(Ⅰ)已知点在
上,且
,求证:平面
平面
;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为多少时,直线
与平面
所成的角为
?
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)当二面角的余弦值为
时,直线
与平面
所成的角为
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)现根据已知,结合平面几何知识证明,进而可证四边形
是平行四边形,则
,从而
,利用
底面
,结合线面垂直、面面垂直的判定定理可得结果;(Ⅱ)以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,∵
是平面
的一个法向量,
再求出平面的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)∵,
,∴
,
∵底面是直角梯形,
,
,
∴,即
,
∴,
∵,
,∴
,
∴四边形是平行四边形,则
,
∴,
∵底面
,∴
,
∵,
∴平面
,∵
平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)解:∵,
,∴
平面
,则
为直线
与平面
所成的角,
若与平面
所成夹角为
,则
,即
,
取的中点为
,连接
,则
,以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
∴,
,
设平面的法向量
,则
即
令,则
,
,∴
,
∵是平面
的一个法向量,
∴,
即当二面角的余弦值为
时,直线
与平面
所成的角为
.
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【题目】四棱锥中,
面
,底面
是菱形,且
,
,过点
作直线
,
为直线
上一动点.
(1)求证: ;
(2)当二面角的大小为
时,求
的长;
(3)在(2)的条件下,求三棱锥的体积.
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【题目】已知椭圆C1: ,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有
相同的离心率.
(1)求椭圆Q的方程;
(2)设0为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,,求直线AB的方程.
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【题目】【浙江省名校协作体2017届高三上学期联考】已知椭圆,经过椭圆
上一点
的直线
与椭圆
有且只有一个公共点,且点
横坐标为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆的一条动弦,且
,
为坐标原点,求
面积的最大值.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
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【题目】某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60)…,[80,90),[90,100],然后画出如图所示部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)估计这次考试的及格率(60分及60分以上为及格)和平均分;
(3)把从[80,90)分数段选取的最高分的两人组成B组,[90,100]分数段的学生组成C组,现从B,C两组中选两人参加科普知识竞赛,求这两个学生都来自C组的概率.
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【题目】已知
(1)求的轨迹
(2)过轨迹上任意一点
作圆
的切线
,设直线
的斜率分别是
,试问在三个斜率都存在且不为0的条件下,
是否是定值,请说明理由,并加以证明.
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【题目】已知空间四边形,
分别在
上,
(1) 若,异面直线
与
所成的角的大小为
,求
和
所成的角的大小;
(2)当四边形是平面四边形时,试判断
与
三条直线的位置关系,并选择其中一种位置关系说明理由;
(3)已知当,异面直线
所成角为
,当四边形
是平行四边形时,试判断
点在什么位置时,四边形
的面积最大,试求出最大面积并说明理由。
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【题目】△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, =(
,1),
=(sinA,cosA),
与
的夹角为60°. (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若sin(B﹣C)=2cosBsinC,求 的值.
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