Question

2．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，AB=3$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{3}$，
（1）求cos∠BAD的值
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，能求出cos∠BAD的值．
（2）在三角形ABD中，由AB，BD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出AD的长，由正弦定理得：$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，求出sinC=$\frac{4}{BC}$，再由正弦定理得：$\frac{AD}{sinC}=\frac{BC-BD}{sinA}$，由此能求出BC．

解答 解：（1）∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos∠BAD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）在△ABD中，AB=3$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{3}$，
根据余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠BAD=18+AD²-8AD=3，
解得AD=3，或AD=5，
当AD=5时，AD＞AB，不成立，故舍去AD=5，
在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，∴sinC=$\frac{ABsinA}{BC}$=$\frac{3\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{BC}$=$\frac{4}{BC}$，
在△ADC中，由正弦定理得：$\frac{AD}{sinC}=\frac{BC-BD}{sinA}$，即$\frac{3}{\frac{4}{BC}}=\frac{BC-\sqrt{3}}{90°}$，
解得BC=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查角余弦值的求法，考查边长的求法，考查余弦定理、正弦定理、同角三角函数恒等式、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．